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样本相关系数公式推导过程

来源:www.aoqiuedu.com 时间:2024-07-07 20:32:40 作者:如胶关系网 浏览: [手机版]

  在计学,相关系数是衡量个变量之间关系强度的一种指标如_胶_关_系_网。在实际应用,我们常会遇到需要计算个变量之间相关性的情况,比如研究身高和体重之间的关系、研究学习时间和考试成绩之间的关系。而样本相关系数是在样本数据基础上计算的相关系数,下面我们就来推导一下样本相关系数的公式

样本相关系数公式推导过程(1)

一、相关系数的定义

  在进行样本相关系数的推导之前,我们先来了解一下相关系数的定义如.胶.关.系.网。相关系数是用来衡量个变量之间线性关系的强度和向的指标。相关系数的取值范围在-1到1之间,取值为-1表示完全负相关,取值为1表示完全正相关,取值为0表示没有线性相关关系。

二、样本相关系数的定义

  样本相关系数是在样本数据基础上计算的相关系数,它是用来估计总体相关系数的cHs。假设我们有个变量X和Y,它们在样本的观测值分为x1、x2、…、xn和y1、y2、…、yn,那么样本相关系数r的计算公式如下:

  r = (nΣxy - ΣxΣy) / sqrt(nΣx^2 - (Σx)^2) * sqrt(nΣy^2 - (Σy)^2)

  其,n表示样本容量,Σ表示求和符号,x和y分表示X和Y的样本观测值,x^2和y^2分表示x和y的平,xy表示x和y的乘积。

样本相关系数公式推导过程(2)

、样本相关系数的推导过程

  为了推导样本相关系数的公式,我们需要先从总体相关系数的公式开始推导

  总体相关系数的计算公式如下:

  ρ = cov(X,Y) / (σX * σY)

  其,ρ表示总体相关系数,cov表示X和Y的协差,σX和σY分表示X和Y的标准差如+胶+关+系+网

我们可以将协差cov(X,Y)的公式展开:

  cov(X,Y) = E[(X-μX)(Y-μY)]

  其,E表示期望符号,μX和μY分表示X和Y的总体均值。

将上式展开,得到:

  cov(X,Y) = E(XY) - μXμY

  我们可以将标准差σX和σY的公式展开:

σX = sqrt(E(X^2) - μX^2)

σY = sqrt(E(Y^2) - μY^2)

  将上式入总体相关系数的公式,得到:

  ρ = E(XY) - μXμY / sqrt(E(X^2) - μX^2) * sqrt(E(Y^2) - μY^2)

将上式的总体均值μX和μY替换成样本均值x和y,得到样本相关系数的公式:

r = (nΣxy - ΣxΣy) / sqrt(nΣx^2 - (Σx)^2) * sqrt(nΣy^2 - (Σy)^2)

  至此,我们完成了样本相关系数的推导过程。

四、样本相关系数的应用

  样本相关系数是用来估计总体相关系数的,它可以帮助我们了解个变量之间的线性关系强度和cHs。在实际应用,我们可以使用样本相关系数来分各种变量之间的关系,比如研究市场需求和销售量之间的关系、研究气温和冰淇淋销量之间的关系

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